日々の事柄に関する雑記帳。


用語、記法

eネイピア数
exp xe^xexponentional
指数関数
lg xlog 2 xlogarithm
二進対数
2を底とする対数
ln xlog e xlogarithm natural
自然対数
log xlog 10 x
文脈によってlog 2 xを指す場合もある。
logarithm
常用対数

対数

y = log a x
a
x真数
底を何乗すれば真数になるのか?と言うこと。
低のy乗が真数。


y = a^xx = log a y
a
x指数対数
y真数真数

M^k = Nとすると、log M^k = log N。
底が10の場合、常用対数表より、
log 10 1log 10 2log 10 3...log 10 9log 10 10
00.30100.4771...0.95421

対数を利用する意味

計算を簡単にできる。
  • 掛け算を足し算にする。
  • 累乗を掛け算にする。
例題1
2の100乗は何桁の数?その数の先頭3桁はいくつか?

底を10とする。
10の何乗が2^100なのか?→10の掛け算で、2^100の桁数が分かる。


log 2^100 =100 * log 2
100 * 0.3010
30.10
10 ^ 30は31桁。→2の100乗は31桁の数。
2 ^ 100 =10 ^ 30.10
10 ^ 0.103 * 10 ^ 30

0.103を常用対数表で調べる。
0.10041.26
0.10381.27

1.26 ≦ 10 ^ 0.103 < 1.27→2の100乗の先頭3桁は126。
例題2
10年で +200 %の経済成長を見込むには、何年で +100 %の経済成長をする必要があるか?
  • +200%成長とは、現在の現在の経済規模が3倍になるということ。
  • +100%成長とは、現在の経済規模が2倍になるということ。

経済成長率 = x
経済規模が2倍になる年数 = y
10年で経済規模が3倍になる。→x ^ 10 = 3
y年で経済規模が2倍になる。→x ^ y = 2
log 10 x^10 =log 10 3
10 * log x =log 10 3
log x =(log 10 3) / 10
0.04771

常用対数表より
log 10 3 = 0.4771
log 10 x^y =log 10 2
y * log x =log 10 2
y =(log 10 2) / (log 10 x)
0.3010 / 0.04771
6.3089

常用対数表より
log 10 2 = 0.3010
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